问题
解答题
已知椭圆C的两焦点为F1（-1，0），F2（1，0），并且经过点M(1 ，
（1）求椭圆C的方程； （2）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围． |
答案
（1）解法一：设椭圆C的标准方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，y2 b2
由椭圆的定义知：2a=
+(1+1)2+(
-0)23 2
=4 ， c=1 ， b2=a2-c2=3(1-1)2+(
-0)23 2
得a=2，b=3
故C的方程为
+x2 4
=1．y2 3
解法二：设椭圆C的标准方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，y2 b2
依题意，a2=b2+1①，将点M(1，
)坐标代入得3 2
+12 a2
=1②(
)23 2 b2
由①②解得a2=4，b2=3，故C的方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以
+m2 4
=1，则m2+n2＞n2 3
+m2 4
=1，n2 3
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=
＜1=r，1 m2+n2
所以直线l与圆O相交．
直线l被圆O所截的弦长为L=2
=21-d2
=21- 1 m2+n2
=21- 1 m2+3(1-
)m2 4 1- 1
m2+31 4
∵0≤m2≤4∴3≤
m2+3≤4，1 4
≤1 4
≤1
m2+31 4
，∴1 3
≤L≤2 6 3
．3