问题
解答题
已知椭圆M：
（Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值． |
答案
（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4
，即a+c=3+22
，…（1分）2
又椭圆的离心率为
，即2 2 3
=c a
，…（2分）2 2 3
所以a=3，c=2
，2
所以b2=a2-c2=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为
+y2=1．…（4分）x2 9
（Ⅱ）由
消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0．…（5分）x=ky+m
+y2=1x2 9
设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-
，y1y2=2km k2+9
．①…（6分）m2-9 k2+9
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以
•CA
=0．…（7分）CB
由
=(x1-3，y1)，CA
=(x2-3，y2)，得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）CB
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×
+k(m-3)×(-m2-9 k2+9
)+(m-3)2=02km k2+9
解得 m=
，或m=3．…（12分）12 5