问题
解答题
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是
（1）求椭圆标准方程； （2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：
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答案
（1）根据题设，可设椭圆标准方程为：
+x2 a2
=1(a＞b＞0)y2 b2
则离心率e=
=c a
，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=43 2
解得a=2，b=1，c=3
所以椭圆标准方程为：
+y2=1x2 4
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有
+x 21 4
=1①y 21
+x 22 4
=1②y 22
由AB∥OP，有kOP=
=kAB=y1-0 x1-0
，y2-0 x2-(-2)
即
=y1 x1
③y2 x2+2
由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．
AB直线方程为：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=
(x+2)．y2 x2+2
把R（0，y3）代入，得y3=2y2 x2+2
所以有
=(x2+2，y2)，AB
=(x2，y2)，OP
=(2，AR
)，2y2 x2+2
可得：
•AB
=2(x2+2)+AR
④2 y 22 x2+2
2|
|2=2(OP
+x 21
)⑤y 21
由①，②，③得：
=x2+2⑥x 21
由①，⑤得：2|
|2=2(OP
+x 21
)=2+y 21 3 2
⑦x 21
由②，④得：
•AB
=2(x2+2)+AR
=5+2 y 22 x2+2
x2⑧3 2
由⑦，⑥得：2|
|2=2(OP
+x 21
)=2+y 21 3 2
=5+x 21
x2⑨3 2
由⑧，⑨可证得：
•AB
=2AR
2．OP