已知f(x)=x3+x(x∈R)，（1）判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性

问题解答题

已知f(x)=x³+x(x∈R)，

（1）判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性，并证明；

（2）求证：满足f(x)=a（a为常数）的实数x至多只有一个。

答案

（1）解：f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，证明如下：

设x₁＜x₂，即x₁-x₂＜0，

∴f(x₁)-f(x₂)=(x₁³+x₁)-(x₂³+x₂)=(x₁³-x₂³)+(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²+1)=(x₁-x₂)[(x₁+)²+x₂²+1]＜0，

∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，

因此f(x)=x³+x在R上是增函数。

（2）证明：假设x₁＜x₂且f(x₁)=f(x₂)=a，由f(x)在R上递增，

∴f(x₁)＜f(x₂)，与f(x₁)=f(x₂)矛盾，

∴原命题正确。