问题
解答题
已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为
（1）求椭圆方程； （2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2 ①求证：m2为定值，并求出此定值； ②求△OPQ面积的取值范围． |
答案
（1）由题设条件，设c=
k，a=2k，则b=k，3
∴椭圆方程为
+x2 4k2
=1，y2 k2
把点（
，2
）代入，得k2=1，2 2
∴椭圆方程为
+y2=1．x2 4
（2）①由
，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，y=kx+m
+y2=1x2 4
∴x1+x2 =-
，x1x2=8km 1+4k2
．4(m2-1) 1+4k2
∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，
∴4k=k1+k2=
+y1 x1
=y2 x2
+kx1+m x1
，kx2+m x2
∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得m2=
，验证△＞0成立．1 2
②S△OPQ=
|x1-x2| • |m|=1 2
，令8k2+1 1+4k2
=t＞1，8k2+1
得S△OPQ=
=2t t2+1
＜1，2 t+ 1 t
∴S△OPQ∈（0，1）．