已知向量p＝(an,2n)，向量q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，向量p与

问题解答题

已知向量p＝(a_n,2ⁿ)，向量q＝(2ⁿ^＋1，－a_n_＋1)，n∈N^*，向量p与q垂直，且a₁＝1.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足b_n＝log₂a_n＋1，求数列{a_n·b_n}的前n项和S_n.

答案

(1) a_n＝2ⁿ^－1(2) a_n·b_n＝n·2ⁿ^－1S_n＝1＋(n－1)2ⁿ

解：(1)∵向量p与q垂直，

∴2ⁿa_n_＋1－2ⁿ^＋1a_n＝0，即2ⁿa_n_＋1＝2ⁿ^＋1a_n，

∴＝2，∴{a_n}是以1为首项， 2为公比的等比数列，∴a_n＝2ⁿ^－1.

(2)∵b_n＝log₂a_n＋1，∴b_n＝n，

∴a_n·b_n＝n·2ⁿ^－1，

∴S_n＝1＋2·2＋3·2²＋4·2³＋…＋n·2ⁿ^－1，①

∴2S_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋n·2ⁿ，②

①－②得，

－S_n＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2ⁿ^－1－n·2ⁿ

＝－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，

∴S_n＝1＋(n－1)2ⁿ.