（I）∵d=

b

2

=

2

，∴b=2∵e=

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

∵a²-b²=c²，∴a2-4=

2

3

a2解得a²=12，b²=4．

椭圆的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．（4分）

（II）（i）∵

c

a

=

6

3

，∴a2=3b2，c2=

2

3

a2=2b2．椭圆的方程可化为：x²+3y²=3b²①

易知右焦点F(

2

b，0)，据题意有AB：y=x-

2

b②

由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+12) 72b2-48b2 42

=

2• 24b2 42

=

3

b=

3

∴b=1（8分）

（II）（ii）显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．

设M（x，y），∵（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，

又点M在椭圆上，∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²④

由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1x2=

3b2

4

则x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2

3b²-9b²+6b²=0⑤

又A，B在椭圆上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²⑥

将⑥，⑤代入④可得：λ²+μ²=1．（14分）