问题
解答题
一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后,恰好穿过点F2(1,0),
(1)求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程;
(2)从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q.求|PQ|的最小值.
答案
(1)设点F1关于直线l:2x-y+3=0的对称点A(m,n),
则
,
=-n m+1 1 2 2•
-m-1 2
+3=0n 2
解得
,m=- 9 5 n= 2 5
则A(-
,9 5
)2 5
∵|PF1|=|PA|,根据椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|=
=2(-
-1)2+(9 5
-0)22 5
,2
∴a=
,c=1,b=2
=1.2-1
∴椭圆C的方程为
+y2=1.x2 2
(2)设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则
+x 20 2
=1,切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y=1,y 20
∵切线AM、BM都经过点M(x0,y0),
∴x1x0+y1y0=1,x2x0+y2y0=1.
∴直线AB方程为x0x+y0y=1,
∴P(0,
)、Q(1 y0
,0),1 x0
|PQ|2=
+1 x 20
=(1 y 20
+1 x 20
)(1 y 20
+x 20 2
)=y 20
+1+1 2
+x 20 2 y 20
≥y 20 x 20
+3 2
=(2
)2,
+12 2
当且仅当
=x 20 2
时,上式等号成立.y 20
∴|PQ|的最小值为
.2+ 2 2