问题
解答题
一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F2（1，0），
（1）求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．
答案
（1）设点F1关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），
则
，
=-n m+1 1 2 2•
-m-1 2
+3=0n 2
解得
，m=- 9 5 n= 2 5
则A（-
，9 5
）2 5
∵|PF1|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|=
=2(-
-1)2+(9 5
-0)22 5
，2
∴a=
，c=1，b=2
=1．2-1
∴椭圆C的方程为
+y2=1．x2 2
（2）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则
+x 20 2
=1，切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1，x2x+y2y=1，y 20
∵切线AM、BM都经过点M（x0，y0），
∴x1x0+y1y0=1，x2x0+y2y0=1．
∴直线AB方程为x0x+y0y=1，
∴P(0，
)、Q(1 y0
，0)，1 x0
|PQ|2=
+1 x 20
=(1 y 20
+1 x 20
)(1 y 20
+x 20 2
)=y 20
+1+1 2
+x 20 2 y 20
≥y 20 x 20
+3 2
=(2
)2，
+12 2
当且仅当
=x 20 2
时，上式等号成立．y 20
∴|PQ|的最小值为
．2+ 2 2
