问题 解答题

一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点D反射后,恰好穿过点F2(1,0),

(1)求以F1、F2为焦点且过点D的椭圆C的方程;

(2)从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q.求|PQ|的最小值.

答案

(1)设点F1关于直线l:2x-y+3=0的对称点A(m,n),

n
m+1
=-
1
2
2•
m-1
2
-
n
2
+3=0

解得

m=-
9
5
n=
2
5

则A(-

9
5
2
5

∵|PF1|=|PA|,根据椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=|AF2|=

(-
9
5
-1)
2
+(
2
5
-0)
2
=2
2

a=

2
,c=1,b=
2-1
=1

∴椭圆C的方程为

x2
2
+y2=1.

(2)设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

x20
2
+
y20
=1,切线AM、BM方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y=1,

∵切线AM、BM都经过点M(x0,y0),

∴x1x0+y1y0=1,x2x0+y2y0=1.

∴直线AB方程为x0x+y0y=1,

P(0,

1
y0
)、Q(
1
x0
,0)

|PQ|2=

1
x20
+
1
y20
=(
1
x20
+
1
y20
)(
x20
2
+
y20
)=
1
2
+1+
x20
2
y20
+
y20
x20
3
2
+
2
=(
2
+1
2
)2

当且仅当

x20
=
2
y20
时,上式等号成立.

∴|PQ|的最小值为

2+
2
2

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