已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．

（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；

（2）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；

（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．