问题
证明题
已知函数f（x）（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有λ（x1-x2）2≤（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]和|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，其中λ是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f（a0）=0和b=a-λf（a）。
（1）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f（b0）=0；
（2）证明（b-a0）2≤（1-λ2）（a-a0）2；
（3）证明[f（b）]2≤（1-λ2）[f（a）]2。
答案
解：（1）不妨设
，由
可知
∴f（x）是R上的增函数
∴不存在
，使得
又∵
∴
。
（2）要证：
，即证
（*）
不妨设
由
得
，即
则
①
由
得
即
则
②
由①②可得
∴
；
（3）因为
∴
∵
又由（2）中结论
∴
。