问题
解答题
已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A1点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．
答案
（Ⅰ）设椭圆方程为
+y2 a2
=1，a＞b＞0，x2 b2
由题意，得c=1，
=4，a2 c
∴a2=4，b2=4-1=3，
∴所求椭圆方程
+x2 4
=1； …（5分）x2 3
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x2=2py，p＞0．
由
=2，得p=4．p 2
∴抛物线C的方程为x2=8y，
设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，
由
，得x2=8kx+8，y=kx+1 x2=8y
即x2-8kx-8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则有x1+x2=8k，x1x2=-8．
∴x=
=x1+x2 2
=4k，8k 2
代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k2+1，
由
，消去k，得y=x=4k y=4k2+1
+1，x2 4
即x2=4（y-1），
∴点Q的轨迹方程是x2=4（y-1）．