已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的上项点为B₁，右、右焦点为F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面积为

的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x₀，y₀）是以线段F₁F₂为直径的圆上一点，且x₀＞0，y₀＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．

答案

（I）∵

b•2c=

，a=2c，a²=b²+c²．

解得c²=1，b²=3，a²=4，

∴椭圆C的方程为：

（Ⅱ）∵F₁F₂是圆的一条直径，∴圆的方程为x²+y²=1，

又P（x₀，y₀）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，

∴kl•

=-1，解得kl=-

．

∴切线方程为y-y0=-

(x-x0)，又

=1，

化为l：x₀x+y₀y-1=0．

∴切线方程为l：x₀x+y₀y-1=0．

（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则G(

，

)，H(

，

)．

若原点O在以线段GH为直径的圆内，则

•

＜0，即

x1x2

y1y2

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，

下面给出证明：联立

x0x+y0y-1=0

，

消去x整理为(4

)y2-6y0y+3-12

=0，

∴y1+y2=

6y0

，y1y2=

3-12

，

∴x1x2=

1-y0y1

•

1-y0y2

1-y0(y1+y2)+

y1y2

4-12

，

∴x₁x₂+y₁y₂=

7-12(

)

＜0．

∴原点O在以线段GH为直径的圆内．