（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．

并代入椭圆方程3x²+y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①

∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k²-4（3+k²）（3k²-k²a²）＞0，

∴a2＞

3k2

3+k2

．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

由①，得y1+y2=

6k

3+k2

，②

∵

AC

=2

CB

，而点C（-1，0），

∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），

得y₁=-2y₂代入②，得y2=

-6k

3+k2

，③

∴△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|=

3

2

|y2|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，当且仅当k²=3，即k=±

3

时取等号．

把k的值代人③可得y2=±

3

，

将

k= 3 y2=- 3

及

k=- 3 y2= 3

这两组值分别代入①，均可解出a²=15．

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x²+y²=15．