问题
解答题
已知椭圆Ω的离心率为
（1）求椭圆Ω的方程； （2）若椭圆
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C； ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由． |
答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，
又∵
=c a
，∴a=2，b=1 2
=a2-c2
，3
∴所求的椭圆Ω的方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）①证明：设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），直线l上一点M的坐标（4，t），
则切线方程分别为
+x1x 4
=1，y1y 3
+x2x 4
=1，y2y 3
∵两切线均过M，即x1+
y1=1，x2+t 3
y2=1，t 3
即点A，B的坐标都适合方程x+
y=1t 3
而两点之间确定的唯一的一条直线，
∴直线AB的方程是x+
=1，t 3
对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线恒过定点C（1，0）．
②将直线AB的方程x+
y=1与椭圆方程联立，可得（t 3
+4）y2-2ty-9=0t2 3
∴y1+y2=
，y1y2=6t t2+12 -27 t2+12
不妨设y1＞0，y2＜0，则|AC|=
=(x1-1)2+y12
y1t2+9 3
同理|BC|=-
y2t2+9 3
∴
+1 |AC|
=1 |BC|
•1 t2+9
=144t2+9×144 9 4 3
即|AC|+|BC|=
•|AC|•|BC|，4 3
故存在λ=
，使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|．4 3
缺失，要求固定义齿修复。查：缺失区牙槽骨及余留牙正常。该患者的固定义齿属于（）。