问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,
2
2
)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点Q(
5
4
,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:
QA
QB
为定值.
答案

(Ⅰ)由题意知:c=1.

根据椭圆的定义得:2a=

(-1-1)2+(
2
2
)
2
+
2
2
,解得a=
2

所以 b2=2-1=1.

所以椭圆C的标准方程为

x2
2
+y2=1.

(Ⅱ)证明:当直线l的斜率为0时,A(

2
,0),B(-
2
,0).

则 

QA
QB
=(
2
-
5
4
,0)•(-
2
-
5
4
,0)=-
7
16

当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

x2
2
+y2=1
x=ty+1
,可得:(t2+2)y2+2ty-1=0.

显然△>0,则

y1+y2=-
2t
t2+2
y1y2=-
1
t2+2
.

因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,

所以

QA
QB
=(x1-
5
4
y1)•(x2-
5
4
y2)=(ty1-
1
4
)(ty2-
1
4
)+y1y2

=(t2+1)y1y2-

1
4
t(y1+y2)+
1
16

=-(t2+1)

1
t2+2
+
1
4
t
2t
t2+2
+
1
16

=

-2t2-2+t2
2(t2+2)
+
1
16
=-
7
16
,即 
QA
QB
=-
7
16

综上,

QA
QB
=-
7
16
,即
QA
QB
为定值.

单项选择题
多项选择题