问题
解答题
已知椭圆C:
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)已知点Q(
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答案
(Ⅰ)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=
+(-1-1)2+(
)22 2
,解得a=2 2
.2
所以 b2=2-1=1.
所以椭圆C的标准方程为
+y2=1.x2 2
(Ⅱ)证明:当直线l的斜率为0时,A(
,0),B(-2
,0).2
则
•QA
=(QB
-2
,0)•(-5 4
-2
,0)=-5 4
.7 16
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由
,可得:(t2+2)y2+2ty-1=0.
+y2=1x2 2 x=ty+1
显然△>0,则
,y1+y2=- 2t t2+2 y1y2=-
.1 t2+2
因为x1=ty1+1,x2=ty2+1,
所以
•QA
=(x1-QB
,y1)•(x2-5 4
,y2)=(ty1-5 4
)(ty2-1 4
)+y1y21 4
=(t2+1)y1y2-
t(y1+y2)+1 4 1 16
=-(t2+1)
+1 t2+2
t1 4
+2t t2+2 1 16
=
+-2t2-2+t2 2(t2+2)
=-1 16
,即 7 16
•QA
=-QB
.7 16
综上,
•QA
=-QB
,即7 16
•QA
为定值.QB