问题
解答题
已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值． |
答案
（Ⅰ）∵椭圆E的长轴长为4，∴a=2，离心率为
．3 2
∴
=c a
，c=3 2
，∴b=13
∵椭圆E的焦点在x轴上，
∴椭圆E的标准方程为
+y2=1；x2 4
（Ⅱ）由条件可得直线AB的方程为y=-x+1．于是，有
⇒5x2-8x=0⇒xB=y=-x+1
+y2=1x2 4
，yB=-xB+1=-8 5
．3 5
设弦AB的中点为M，则由中点坐标公式得xM=
，yM=4 5
，由此及点M在直线l得1 5
=1 5
+m⇒m=-4 5
．3 5