问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.
答案

(Ⅰ)由已知2a=4,

c
a
=
1
2
.解得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,

故椭圆的方程为

x2
4
+
y2
3
=1.…(5分)

(Ⅱ)由M,N不与椭圆的顶点重合,设直线l的方程为y=kx-2,代入椭圆方程可得(4k2+3)x2-16kx+4=0,

由△=(-16k)2-16(4k2+3)=12k2-3>0,得k<-

1
2
k>
1
2
              …(8分)

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=

16k
4k2+3
,x1x2=
4
4k2+3
,y1y2=
-28k2
4k2+3
+4

由(Ⅰ)得椭圆C的右顶点A(2,0),

因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,

所以kAMkAN=-1,

y1
x1-2
y2
x2-2
=-1,

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,

-28k2
4k2+3
+4+
4
4k2+3
-
32k
4k2+3
+4=0,

∴k2-8k+7=0,解得k=7或k=1

当k=1时,l:y=x-2,直线过椭圆C的右顶点A(2,0),舍去;

当k=7时,l:y=7x-2.

综上可知,直线l的方程是y=7x-2      …(14分)

单项选择题
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