问题
解答题
已知椭圆C:
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程. |
答案
(Ⅰ)由已知2a=4,
=c a
.解得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,1 2
故椭圆的方程为
+x2 4
=1.…(5分)y2 3
(Ⅱ)由M,N不与椭圆的顶点重合,设直线l的方程为y=kx-2,代入椭圆方程可得(4k2+3)x2-16kx+4=0,
由△=(-16k)2-16(4k2+3)=12k2-3>0,得k<-
或k>1 2
…(8分)1 2
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=16k 4k2+3
,y1y2=4 4k2+3
+4-28k2 4k2+3
由(Ⅰ)得椭圆C的右顶点A(2,0),
因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,
所以kAMkAN=-1,
∴
•y1 x1-2
=-1,y2 x2-2
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
∴
+4+-28k2 4k2+3
-4 4k2+3
+4=0,32k 4k2+3
∴k2-8k+7=0,解得k=7或k=1
当k=1时,l:y=x-2,直线过椭圆C的右顶点A(2,0),舍去;
当k=7时,l:y=7x-2.
综上可知,直线l的方程是y=7x-2 …(14分)