已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线y=x+6与以原点为圆心，

问题解答题

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），直线y=x+

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁、F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（

，0），求实数k的取值范围．

答案

（1）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则G（

，

）

设I（x_I，y_I），则∵IG∥F₁F₂，∴yI=

∵|F₁F₂|=2c，∴S△F1PF2=

|F₁F₂||y₀|=

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•

∴2c•3=2a+2c

∴e=

∵直线y=x+

与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切

∴b=

∴a=2

∴椭圆的方程为

=1；

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，

由△＞0，可得m²＜4k²+3

∵x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴y₁+y₂=

3+4k2

∴线段AB的中点R的坐标为（-

4km

3+4k2

，

3+4k2

）

∵线段AB的垂直平分线l′的方程为y=-

(x-

)，R在直线l′上，

∴

3+4k2

4km

3+4k2

)

∴m=-

(4k2+3)

∴[-

(4k2+3)]2＜4k2+3

∴k2＞

∴k＞

或k＜-

．