问题
解答题
已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．
（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；
（2）求证：线段EF被直线AC平分．
答案
（1）由题意，可设椭圆的标准方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0）y3 b2
∵y2=4x的焦点为F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a2=b2+c2=2，
所以，椭圆的标准方程为
+y2=1x2 2
其离心率为e=2 2
（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（
，0）3 2
若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，-y1），C（2，-y1）
∴AC的中点为N（
，0）3 2
∴线段EF的中点与AC的中点重合，
∴线段EF被直线AC平分，
若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为
y=k（x-1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）
则C（2，-y2）
把y=k（x-1）代入
+y2=1x2 2
得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0
则有x1+x2=
，x1x2=4k2 1+2k2 2(k2-1) 1+2k2
∴kAM=
=y1 x1- 3 2 k(x1-1) x1- 3 2
=
，kCM=2k(x1-1) 2x1-3
=2k(x2-1)，y2 2- 3 2
∵kAM-kCM=2k
2(x1-3)=0(x1-1)-(x2-1) 2x1-3
=2k
=03(x1+x2)-2x1x2-4 2x1-3
∴kAM=kCM
∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，
∴线段EF被直线AC平分．
