问题
解答题
数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.
(2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.
答案
(1) λ=3 a3=-3. (2) 不可能，理由见解析
(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),
且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,
故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得
a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以,对任意λ,{an}都不可能是等差数列.