（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，

∴M到y轴的距离d=

3

又圆M与x轴相切，∴当x=c时，得y2=

b4

a2

，∴r=

b2

a

．

∴

b2

a

=2，c=

3

∵a²-b²=c²，

∴a²-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），则b²=2a=6．

故所求椭圆方程为

x2

9

+

y2

6

=1．

（II）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得

y

2A

=

b2(a2-1)

a2

．

∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴2(1+

y

2A

)＜4

y

2A

，

y

2A

＞1，即

a2-1

a

＞1．

解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

（舍去），即a＞

1+ 5

2

．

②当l不垂直x轴时，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

直线AB的方程为y=k(x-1)，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1

得（b²+a²k²）x²-2a²k²x+a²k²-a²b²=0，

则x1+x2=

2a2bk2

b2+a2k2

，x1x2=

a2k2-a2b2

b2+a2k2

∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²＜（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=

(a2-a2b2+b2)k2-a2b2

b2+a2k2

，

由题意得，（a²-a²b²+b²）k²-a²b²＜0对k∈R恒成立．

当a²-a²b²+b²＞0对k∈R不是恒成立的．

当a2-a2b2+b2=0时，a=

1+ 5

2

，恒成立．

当a²-a²b²+b²＜0时恒成立，∴a²＜a²b-b²，即a²＜（a²-1）b²=b⁴，

∵a＞0，b＞0，

∴a＜b²，即a＜a²-1，

∴a²-a-1＞0，解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

，即a＞

1+ 5

2

．

综上，a的取值范围是[

1+ 5

2

，+∞)