问题
解答题
已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x2+y2=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）
答案
（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
则由
，解得定点F（3，0）；x-y-3=0 x-3=0
设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，则y2 b2
，解得c=3 a+c=8 a2=b2+c2
；a=5 b=4 c=3
所以椭圆C的方程为
+x2 25
=1．y2 16
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=
+m2 25
＜m2+n2，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=n2 16
＜1=r，所以直线l与圆O恒相交；1 m2+n2
又直线l被圆O截得的弦长为L=2
=2r2-d2
=21- 1 m2+n2
，1- 1
m2+169 25
由于0≤m2≤25，所以16≤
m2+16≤25，则L∈[9 25
，15 2
]，4 6 5
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[
，15 2
]．4 6 5