已知F1，F2分别是椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其

问题解答题

已知F₁，F₂分别是椭圆C：

=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF1|=

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

答案

（1）由抛物线C₁：x²=4y的焦点，得焦点F₁（1，0）．

设M（x₀，y₀）（x₀＜0），由点M在抛物线上，

∴|MF1|=

=y0+1，

=4y0，解得y0=

，x0=-

．

而点M在椭圆C₁上，∴

(

=1，化为

9a2

3b2

=1，

联立

c2=1=a2-b2

9a2

3b2

，解得

a2=4

b2=3

，

故椭圆的方程为

=1．

（2）由（1）可知：|AO|=

，|BO|=2．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，

把y=kx代人

=1，可得x2=-x1=

3k2+4

，x₂＞0，y₂=-y₁＞0，且4

=12．

S△BOE=S△BOF=

×2x2，S△AOF=S△AOE=

y2，

故四边形AEBF的面积S=S_△BEF+S_△AEF=2x2+

y2=

(2x2+

y2)2

y1y2

≤

+2×

(2x2)2+(

y2)2

．

当且仅当2x2=

y2时上式取等号．

∴四边形AEBF面积的最大值为2

．