问题 解答题
已知F1,F2分别是椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上、下焦点,其中F1也是抛物线C1:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|=
5
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值.
答案

(1)由抛物线C1:x2=4y的焦点,得焦点F1(1,0).

设M(x0,y0)(x0<0),由点M在抛物线上,

|MF1|=

5
3
=y0+1,
x20
=4y0
,解得y0=
2
3
x0=-
2
6
3

而点M在椭圆C1上,∴

(
2
3
)2
a2
+
(-
2
6
3
)2
b2
=1,化为
4
9a2
+
8
3b2
=1

联立

c2=1=a2-b2
4
9a2
+
8
3b2
=1
,解得
a2=4
b2=3

故椭圆的方程为

y2
4
+
x2
3
=1.

(2)由(1)可知:|AO|=

3
,|BO|=2.设E(x1,y1),F(x2,y2),其中x1<x2

把y=kx代人

y2
4
+
x2
3
=1,可得x2=-x1=
2
3
3k2+4
,x2>0,y2=-y1>0,且4
x22
+3
y22
=12

S△BOE=S△BOF=

1
2
×2x2S△AOF=S△AOE=
1
2
×
3
y2

故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF=2x2+

3
y2=
(2x2+
3
y2)2

=

4
x22
+3
y22
+4
3
y1y2
4
x22
+3
y22
+2×
(2x2)2+(
3
y2)2
2
=2
6

当且仅当2x2=

3
y2时上式取等号.

∴四边形AEBF面积的最大值为2

6

单项选择题
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