问题
解答题
已知F1,F2分别是椭圆C:
(1)求椭圆C1的方程; (2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值. |
答案
(1)由抛物线C1:x2=4y的焦点,得焦点F1(1,0).
设M(x0,y0)(x0<0),由点M在抛物线上,
∴|MF1|=
=y0+1,5 3
=4y0,解得y0=x 20
,x0=-2 3
.2 6 3
而点M在椭圆C1上,∴
+(
)22 3 a2
=1,化为(-
)22 6 3 b2
+4 9a2
=1,8 3b2
联立
,解得c2=1=a2-b2
+4 9a2
=18 3b2
,a2=4 b2=3
故椭圆的方程为
+y2 4
=1.x2 3
(2)由(1)可知:|AO|=
,|BO|=2.设E(x1,y1),F(x2,y2),其中x1<x2,3
把y=kx代人
+y2 4
=1,可得x2=-x1=x2 3
,x2>0,y2=-y1>0,且42 3 3k2+4
+3x 22
=12.y 22
S△BOE=S△BOF=
×2x2,S△AOF=S△AOE=1 2
×1 2
y2,3
故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF=2x2+
y2=3 (2x2+
y2)23
=
≤4
+3x 22
+4y 22
y1y23
=24
+3x 22
+2×y 22 (2x2)2+(
y2)23 2
.6
当且仅当2x2=
y2时上式取等号.3
∴四边形AEBF面积的最大值为2
.6