已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4，F1，F2分别为其

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的长轴长为4，F₁，F₂分别为其左、右焦点，抛物线y²=-4x的焦点为F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F₁的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ面积的最大值．

答案

（Ⅰ）由抛物线y²=-4x的焦点为F₁（-1，0）可知c=1，

∵2a=4∴a=2，∴b²=a²-c²=3

所以椭圆C的方程为：

=1 …（4分）

（Ⅱ）因为过点F₁（-1，0）的直线与椭圆C交于P，Q两点，

可设直线l方程为：x=my-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x=my-1

，得（4+3m²）y²-6my-9=0，∴

y1+y2=

3m2+4

y1y2=-

3m2+4

所以S △F1PQ=

|F₁F₂||y₁-y₂|=

m2+1

3m2+4

，

令

m2+1

=t，则t≥1，所以S △F1PQ=

3t+

而3t+

在[1，+∞）上单调递增，

所以S △F1PQ=

3t+

≤3，当t=1时取等号，

即当m=0时，△F₂PQ的面积最大值为3…（8分）