问题 解答题

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

答案

解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),

高为

故长方体的体积为V(x)=2(4.5﹣3x)=9﹣6x3(m3

从而V'(x)=18x﹣18(4.5﹣3x)=18x(1﹣x).

令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.

当0<x<1时,V'(x)>0;

当1<x<时,V'(x)<0,

故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.

从而最大体积V=V'(x)=9×12﹣6×13=3(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.

答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3

单项选择题
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