问题
解答题
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
答案
解:设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),
高为.
故长方体的体积为V(x)=2(4.5﹣3x)=9
﹣6x3(m3)
.
从而V'(x)=18x﹣18(4.5﹣3x)=18x(1﹣x).
令V'(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V'(x)>0;
当1<x<时,V'(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.
从而最大体积V=V'(x)=9×12﹣6×13=3(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3.