问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为
（I）求椭圆C的方程 （II）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为
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答案
（I）由题意设椭圆的标准方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)，焦距为2c．y2 b2
则
，解得2b=2
=c a 2 2 a2=b2+c2
，∴椭圆的方程为b=c=1 a= 2
+y2=1．x2 2
（II）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2-2=0，
则△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=4（2m2+4-2n2）＞0，（*）
y1+y2=
，y1y2=-2mn m2+2
，n2-2 m2+2
∴|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
=(1+m2)[(
)2-4×-2mn m2+2
]n2-2 m2+2
．2 (1+m2)(2m2+4-2n2) m2+2
原点O到直线AB的距离d=
，|n| m2+1
好∵
|AB|d=1 2
好，6 4
∴
×1 2
×2 (1+m2)(2m2+4-2n2) m2+2
=|n| 1+m2
，化为6 4
=n2(2m2+4-2n2) (m2+2)2
．（**）3 8
另一方面，yE=
=y1+y2 2
，-mn m2+2
∴xE=myE+n=
+n=-m2n m2+2
，即E(2n m2+2
，2n m2+2
)．-mn m2+2
∵
=tOP
，∴P(OE
，2nt m2+2
)．-mnt m2+2
代入椭圆方程得
+((2nt)2 2(m2+2)2
)2=1，-mnt m2+2
化为n2t2=m2+2，代入（**）得
=n2(2n2t2-2n2) (n2t2)2
，化为3t4-16t2+16=0，解得t2=4或3 8
．4 3
∵t＞0，∴t=2或
．经验证满足（*）．2 3 3
∴t=2或
．2 3 3
