问题
解答题
已知椭圆C：
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：
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答案
（Ⅰ）由已知e=
=c a
，得2 2
=b2 a2
=1-e2=a2-c2 a2
．1 2
所以a2=2b2．
所以C：
+x2 2b2
=1，即x2+2y2=2b2．y2 b2
因为椭圆C过点(2，
)，所以22+2(2
)2=2b2，2
得b2=4，a2=8．
所以椭圆C的方程为
+x2 8
=1．y2 4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）．
根据题意，可设直线MN的方程为y=k（x+2），
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y=-
(x-2)．1 k
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
由方程组
消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-8=0．y=k(x+2)
+x2 8
=1y2 4
则 x1+x2=
，x1x2=-8k2 2k2+1
．8k2-8 2k2+1
所以|MN|=
|x1-x2|=1+k2
•1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2
．4
(1+k2)2 2k2+1
同理可得|PQ|=
．4
(1+k2)2 k2+2
所以
+1 |MN|
=1 |PQ|
+2k2+1 4
(1+k2)2
=k2+2 4
(1+k2)2
=3k2+3 4
(1+k2)2
．3 2 8