问题
解答题
设椭圆C：
（I）求椭圆C的方程； （II）过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围． |
答案
（I）由已知
=c a
，可得F1（-1 2
a，0），1 2
由F1到直线l的距离为a，所以
=a，|-
a-3|1 2 2
解得a=2，所以c=1，b2=a2-c2=3，得b=
，3
所以所求椭圆C的方程为
+x2 4
=1；y2 3
（II）由（I）知F2（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），
由
消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，y=k(x-1)
+x2 4
=1y2 3
因为l过点F2，所以△＞0恒成立，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=
，y1+y2=k（x1+x2-2）=8k2 3+4k2
，-6k 3+4k2
所以MN中点（
，4k2 3+4k2
），-3k 3+4k2
当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，
当k≠0时MN中垂线方程为y+
=-3k 3+4k2
(x-1 k
)，4k2 3+4k2
令y=0，得m=
=k2 3+4k2
，1
+43 k2
因为
＞0，所以3 k2
+4＞4，可得0＜m＜1 k2
，1 4
综上可知实数m的取值范围是[0，
）．1 4