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问题 解答题
已知点A、B分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=
2
2
．三角形ABC的面积为
2
，动直线l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）若椭圆上存在点P，满足
OM
+
ON
=λ
OP
（O为坐标原点），求λ的取值范围；
（III）在（II）的条件下，当λ=
2
时，求△MNO面积．
答案

（I）由题意，

a2+b2
a
=
2
2
1
2
×2a×b=
2
，∴a=
2
，b=1

∴椭圆的方程为

x2
2
+y2=1；

（II）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则

x1+x2=-

4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-2
1+2k2

∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=

2m
1+2k2

（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0．

（2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0，

∵

OM
+
ON
=λ
OP
，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0），

∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴x0=-

4km
λ(1+2k2)
，y0=
2m
λ(1+2k2)

∵P在椭圆上，

∴[-

4km
λ(1+2k2)
]2+2[
2m
λ(1+2k2)
]2=2

化简，得4m2（1+2k2）=λ2（1+2k2）2．

∵1+2k2≠0，

∴有4m2=λ2（1+2k2）．…①…7分

又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=8（1+2k2-m2），

∴由△＞0，得1+2k2＞m2．…②…8分

将①、②两式，∵m≠0，∴λ2＜4，

∴-2＜λ＜2且λ≠0．

综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是-2＜λ＜2；

（III）由题意，|MN|=

1+k2
|x1-x2|，点O到直线MN的距离d=
|m|
1+k2

∴S△MNO=

1
2
|m||x1-x2|=
2
|m|
1+2k2-m2
1+2k2

当λ=

2
时，由4m2=λ2（1+2k2）可得2m2=1+2k2，

∴S△MNO=

2
2
．

写句子

按要求写句子。

（1）黑暗吞没了天边的最后一丝光亮。

改成“把”字句：_________________________________________________________

改成“被”字句：_________________________________________________________

（2）做笔记锻炼了我的记忆力。做笔记增强了我的理解力。（用关联词把它们连成一句话）

________________________________________________________________________

（3）一座座巨大的角锥形建筑物巍然屹立着。（缩句）

________________________________________________________________________

（4）一只兔子在土坡后面飞快地跑着。（给句子换个说法，保持句意不变）

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选择题

在我国，要保证把人民赋予的权力用来为人民谋利益，其关键是（    ）　　

A．建立健全制约和监督机制

B．扩大和增加公民的权利　　

C．完善公务员考试制度

D．加强对政府工作人员的思想教育
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