已知点A、B分别是椭圆
(I)求椭圆的方程; (II)若椭圆上存在点P,满足
(III)在(II)的条件下,当λ=
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(I)由题意,
,∴a=
=a2+b2 a 2 2
×2a×b=1 2 2
,b=12
∴椭圆的方程为
+y2=1;x2 2
(II)y=kx+m代入椭圆方程整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设点M、N的坐标分别为M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x0,y0),则
x1+x2=-
,x1x2=4km 1+2k2 2m2-2 1+2k2
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m 1+2k2
(1)当m=0时,点M、N关于原点对称,则λ=0.
(2)当m≠0时,点M、N不关于原点对称,则λ≠0,
∵
+OM
=λON
,∴(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0),OP
∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,
∴x0=-
,y0=4km λ(1+2k2) 2m λ(1+2k2)
∵P在椭圆上,
∴[-
]2+2[4km λ(1+2k2)
]2=22m λ(1+2k2)
化简,得4m2(1+2k2)=λ2(1+2k2)2.
∵1+2k2≠0,
∴有4m2=λ2(1+2k2).…①…7分
又∵△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(1+2k2-m2),
∴由△>0,得1+2k2>m2.…②…8分
将①、②两式,∵m≠0,∴λ2<4,
∴-2<λ<2且λ≠0.
综合(1)、(2)两种情况,得实数λ的取值范围是-2<λ<2;
(III)由题意,|MN|=
|x1-x2|,点O到直线MN的距离d=1+k2 |m| 1+k2
∴S△MNO=
|m||x1-x2|=1 2
|m|2 1+2k2-m2 1+2k2
当λ=
时,由4m2=λ2(1+2k2)可得2m2=1+2k2,2
∴S△MNO=
.2 2