解（1）由题意c2=

1

2

．设|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞

2

2

），由余弦定理，

得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2-2|PF1||PF2|

2|PF1|•|PF2|

=

2a2-1

|PF1|•|PF2|

-1．

又|PF₁|•|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，

当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|•|PF₂|取最大值，

此时cos∠F₁PF₂取最小值

2a2-1

a2

-1，

令

2a2-1

a2

-1=0，

解得a²=1，∵c=

2

2

，∴b2=

1

2

，

故所求P的轨迹方程为

y2

1

+

x2

1 2

=1．即y²+2x²=1；

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

y=kx+m 2x2+y2=1

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．

则△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．

x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，

因为

AQ

=3

QB

，所以-x₁=3x₂，所以

x1+x2=-2x2 x1x2=-3x22

，

所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0

当m2=

1

4

时，上式不成立；

当m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0；

把k2=

2-2m2

4m2-1

代入△=4（k²-2m²+2）＞0，

得：4(

2-2m2

4m2-1

-2m2+2)＞0．

解得m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．