问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH． ①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积； ②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）因为椭圆的离心率e=
，一条准线方程为x=6 3
．3 6 2
所以
=c a
，6 3
=a2 c
，a2=b2+c2，…（2分）3 6 2
解得a=3，b=
，3
所以椭圆方程为
+x2 9
=1． …（4分）y2 3
（2）①由
，解得y=
x3
+x2 9
=1y2 3
，…（6分）x2= 9 10 y2= 27 10
由
得y=-
x3 3
+x2 9
=1y2 3
，…（8分）x2= 9 2 y2= 3 2
所以OG=
，OH=3 10 5
，所以6
=S △GOH
．…（10分）3 15 5
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG2+OH2=GH2，故
+1 OG2
=1 OH2
，1 R2
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得xG2=
，yG2=9 1+3k2 9k2 1+3k2
∴OG2=9+9k2 1+3k2
同理可得OH2=9+9k2 3+k2
∴
+1 OG2
=1 OH2
=4 9
，∴R=1 R2 3 2
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得
+1 OG2
=1 OH2
=4 9 1 R2
故满足条件的定圆方程为x2+y2=
．9 4