问题
解答题
设F1,F2分别为椭圆C:
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)过点P(0,
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答案
(1)椭圆C的焦点在x轴上,
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,
又点A(1,
)在椭圆上,∴3 2
+1 22
=1,∴b2=3,∴c2=1,(
)23 2 b2
所以椭圆C的方程为
+x2 4
=1,F1(-1,0),F2(1,0).…(6分)y2 3
(2)直线MN不与x轴垂直,设直线MN方程为y=kx+
,3 2
代入椭圆C的方程得(3+4k2)x2+12kx-3=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-
,x1x2=-12k 3+4k2
,且△>0成立.3 3+4k2
又OM
=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+•ON
)(kx2+3 2
)=-3 2
-3(1+k2) 3+4k2
+18k2 3+4k2
=0,9 4
∴16k2=5,k=±
,5 4
∴MN方程为y=±
x+5 4
…(14分)3 2