问题 解答题
设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,若椭圆C上的点A(1,
3
2
)到F1F2
两点的距离之和等于4.
(1)求出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)过点P(0,
3
2
)的直线与椭圆交于两点M、N,若OM⊥ON,求直线MN的方程.
答案

(1)椭圆C的焦点在x轴上,

由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2,

又点A(1,

3
2
)在椭圆上,∴
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1
,∴b2=3,∴c2=1,

所以椭圆C的方程为

x2
4
+
y2
3
=1,F1(-1,0),F2(1,0).…(6分)

(2)直线MN不与x轴垂直,设直线MN方程为y=kx+

3
2

代入椭圆C的方程得(3+4k2)x2+12kx-3=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-

12k
3+4k2
,x1x2=-
3
3+4k2
,且△>0成立.

OM
•ON
=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+
3
2
)(kx2+
3
2
)=-
3(1+k2)
3+4k2
-
18k2
3+4k2
+
9
4
=0,

∴16k2=5,k=±

5
4

∴MN方程为y=±

5
4
x+
3
2
…(14分)

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题