若数列{an}满足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数

问题解答题

若数列{a_n}满足a_n_＋1＝a_n＋a_n_＋2(n∈N^*)，则称数列{a_n}为“凸数列”．

(1)设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁＝1，a₂＝－2，试写出该数列的前6项，并求出前6项之和；

(2)在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n_＋3＝－a_n，n∈N^*；

(3)设a₁＝a，a₂＝b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2011项和S₂₀₁₁.

答案

（1）S₆＝0（2）见解析（3）a

(1)解：a₁＝1，a₂＝－2，a₃＝－3，a₄＝－1，a₅＝2，a₆＝3，故S₆＝0.

(2)证明：由条件得所以a_n_＋₃＝－a_n.

(3)解：由(2)的结论得a_n_＋₆＝－a_n_＋₃＝a_n，即a_n_＋₆＝a_n.

a₁＝a，a₂＝b，a₃＝b－a，a₄＝－a，a₅＝－b，a₆＝a－b，∴S₆＝0.

由(2)得S_6n_＋_k＝S_k，n∈N^*，k＝1，…，6，

故S₂₀₁₁＝S₃₃₅_×₆_＋₁＝a₁＝a.