（Ⅰ）由已知，a＞1，

∴方程组

x2 a2 +y2=1 x2+y2=c2

有实数解，从而(1-

1

a2

)x2=c2-1≥0，

故c²≥1，所以a²≥2，即a的取值范围是[

2

，+∞)．

（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F₂（c，0）的距离为d，

则d2=(x-c)2+y2=x2-2cx+c2+1-

x2

a2

=

c2

a2

x2-2cx+c2+1

=

c2

a2

(x-

a2

c

)2（-a≤x≤a）．

∵

a2

c

＞a，

∴当x=a时，d_min=a-c，

（可以直接用结论）

于是，

a-c= 3 - 2 a2-c2=1

，

解得

a= 3 c= 2

．

∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．

（Ⅲ）由

y=kx+m x2+3y2=3

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0（*）

∵直线l与椭圆交于不同两点，

∴△＞0，即m²＜3k²+1．①

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两个实数解，

∴x1+x2=-

6mk

3k2+1

，

∴线段MN的中点为Q(-

3mk

3k2+1

，

m

3k2+1

)，

又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），

∴AQ⊥MN，

即-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1（k≠0）②

由①，②得m²＜2m，0＜m＜2，又由②得m＞

1

2

，

∴实数m的取值范围是(

1

2

，2)．