问题
解答题
二次函数y=x2+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．
答案
由题意知4+2p+q=-1，即q=-2p-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x2+px+q上，
∴a+b=-p，ab=q，
又|AB|=|a-b|=
=(a+b)2-4ab
，M（-p2-4q
，p 2
），4q-p2 4
∴S△AMB=
|AB|•|1 2
|4q-p2 4
=
|a-b|•（P2-4q）=1 8 1 8 (p2-4q)3
要使S△AMB最小，只须使P2-4q为最小，
而P2-4q=P2+8p+20=（p+4）2+4，
∴当p=-4时，P2-4q有最小值为4，
此时q=3，S△AMB=
×1 8
=1．43
∴二次函数解析式为y=x2-4x+3．