已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为53，定点M（2，0）

问题解答题

已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的离心率为

，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）由

=e2=

a2-b2

=1-

，得

．…（2分）

依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）

所以椭圆C的方程是

=1．…（5分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得（4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）

所以 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

．…（8分）

若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）

设P（a，0），则有

x1-a

x2-a

=0．

将 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0，

所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）

将 y1+y2=

-16m

4m2+9

，y1y2=

-20

4m2+9

代入上式，整理得（-2a+9）•m=0．…（13分）

由于上式对任意实数m都成立，所以 a=

．

综上，存在定点P(

，0)，使PM平分∠APB．…（14分）