问题
解答题
曲线C是点M到定点F（2，0）的距离与到直线x=3距离之比为
（Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设F，F'为曲线C的两个焦点，直线l过点F且与曲线C交于A，B两点，求|F'A|•|F'B|的最大值． |
答案
（1）设曲线上任一点M（x，y），则由题意得：
=(x-2)2+y2 |x-3| 6 3
化简得：曲线方程为
+x2 6
=1…（6分）y2 2
（2）当直线l与x轴垂直时，此时A(2，
)，B(2，-6 3
)，|F′A|•|F′B|=6 3
•42+(
)26 3
=42+(-
)26 3
…．（10分）50 3
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2）
点A，B的坐标是方程组
的解，从而有：（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0
+x2 6
=1y2 2 y=k(x-2)
由韦达定理：x1+x2=
，x1x2=12k2 3k2+1
，12k2-6 3k2+1
又椭圆的离心率e=
，由椭圆的左焦半径公式得|F′A|•|F′B|=(6 3
+6
x1)(6 3
+6
x2)=6 3
x1x2+2(x1+x2)+6=2 3
×2 3
+2×12k2-6 3k2+1
+6=12k2 3k2+1
-50 3
＜44 3(3k2+1)
，综上，|F'A|•|F'B|的最大值是50 3
．…（16分）50 3