已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e

问题解答题

已知椭圆

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e=

．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

答案

（1）由题意得

c=3

，得a=2

． …（2分）

结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．…（4分）

所以，椭圆的方程为

=1． …（6分）

（2）由

y=kx

，得（3+12k²）x²-12×3=0．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=0，x₁x₂=-

3+12k2

，…（10分）

依题意，OM⊥ON，

易知，四边形OMF₂N为平行四边形，所以AF₂⊥BF₂，…（12分）

因为

F2A

=（x₁-3，y₁），

F2B

=（x₂-3，y₂），

所以

F2A

•

F2B

=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，

即

-12×3(1+k2)

3+12k2

+9=0，

解得k=±

．…（15分）