问题 解答题

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三条:

①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;

②f(1)=1;

③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.

解答下列问题:

(Ⅰ)求f(0)的值;

(Ⅱ)函数g(x)=2x-1在[0,1]上是否同时满足①②③?

(Ⅲ)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1]且f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0

答案

解:(Ⅰ)令x1=x2=0,f(0)≥f(0)+f(0),f(0)≤0,

又x∈[0,1]时,f(0)≥0,

∴f(0)=0.

(Ⅱ)当x∈[0,1]时,2x∈[1,2],

∴2x-1∈[0,1],

∴满足条件①;

又g(1)=21-1=1,

∴满足条件②;

设x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则

∵x1≥0,x2≥0,

∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),

∴满足条件③,

∴同时满足①②③.

(Ⅲ)任给m,n∈[0,1],若m<n,f(m)≤f(n),

假设若x0<f(x0),则f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾;

同理若x0>f(x0),则f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾;

∴假设不成立,

∴f(x0)=x0

名词解释
单项选择题