问题
解答题
已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足以下三条：
①对任意的x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
②f(1)=1；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立．
解答下列问题：
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)函数g(x)=2x-1在[0，1]上是否同时满足①②③？
(Ⅲ)假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]且f[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0。
答案
解：(Ⅰ)令x1=x2=0，f(0)≥f(0)+f(0)，f(0)≤0，
又x∈[0，1]时，f(0)≥0，
∴f(0)=0．
(Ⅱ)当x∈[0，1]时，2x∈[1，2]，
∴2x-1∈[0，1]，
∴满足条件①；
又g(1)=21-1=1，
∴满足条件②；
设x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则
，
，
，
∵x1≥0，x2≥0，
∴
，
∴g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)，
∴满足条件③，
∴同时满足①②③．
(Ⅲ)任给m，n∈[0，1]，若m＜n，f(m)≤f(n)，
假设若x0＜f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]=x0矛盾；
同理若x0＞f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]=x0矛盾；
∴假设不成立，
∴f(x0)=x0。