（1）∵α、β为方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的两个实数根，

∴判别式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，

且α+β=p+q+1，αβ=p，

于是p=αβ，

q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；

（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），

又α≤β，

∴a≤1≤β；

（3）若使p+q=

5

4

成立，只需α+β=p+q+1=

9

4

，

①当点M（α，β）在BC边上运动时，

由B（

1

2

，1），C（1，1），

得

1

2

≤α≤1，β=1，

而α=

9

4

-β=

9

4

-1=

5

4

＞1，

故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（

5

4

，1）所以不符合题意舍去；

即在BC边上不存在满足条件的点

②当点M（α，β）在AC边上运动时，

由A（1，2），C（1，1），

得a=1，1≤β≤2，

此时β=

9

4

-α=

9

4

-1=

5

4

，

又因为1＜

5

4

＜2，

故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，

5

4

）；

③当点M（α，β）在AB边上运动时，

由A（1，2），B（

1

2

，1），

得

1

2

≤α≤1，1≤β≤2，

由平面几何知识得

1-α

1- 1 2

=

2-β

2-1

，

于是β=2α，

由

β=2α α+β= 9 4

解得α=

3

4

，β=

3

2

，

又因为

1

2

＜

3

4

＜1，1＜

3

2

＜2，

故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（

3

4

，

3

2

）．

综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（1，

5

4

）和点（

3

4

，

3

2

），使p+q=

5

4

成立．