问题
解答题
已知f（x）=lnx-ax2-bx。
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明：函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），求证：f'（x0）＜0。
答案
解：（1）依题意：f（x）=lnx+x2-bx
∵f（x）在（0，+∞）上递增
∴
对x∈（0，+∞）恒成立
即
，对x∈（0，+∞）恒成立
∴只需
∵x＞0
∴
当且仅当
时取“=”
∴
∴b的取值范围为
。
（2）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴
∵x>0，
∴当0＜x＜1时，f'（x）>0
当x>1时，f'（x）＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，
其值为f（1）=ln1-12+1=0，
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函数f（x）只有一个零点。
（3）由已知得
两式相减得
=a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）
（x1-x2）[a（x1+x2）+b]
由
及2x0=x1+x2得
令
，
∵
∴φ（t）在（0，1）上递减，
∴φ（t）>φ（1）=0，
∵x1＜x2，
∴f'（x0）＜0。