问题
解答题
已知椭圆C：
（1）求椭圆C的方程； （2）设G，H为椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）因为
=c a
，2b=26 3
，a2=b2+c2，3
解得a=3，b=
，所以椭圆方程为3
+x2 9
=1． y2 3
（2）假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG2+OH2=GH2，故
+1 OG2
=1 OH2
，1 R2
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，
由
，得y=kx
+x2 9
=1y2 3
，所以OG2=xG2= 9 1+3k2 yG2= 9k2 1+3k2
，9+9k2 1+3k2
同理可得OH2=
（将OG2中的K换成-9k2+9 3+k2
可得）1 K
+1 OG2
=1 OH2
=4 9
，R=1 R2
，3 2
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得
+1 OG2
=1 OH2
=4 9
，1 R2
故满足条件的定圆方程为：x2+y2=
．9 4