已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其

问题解答题

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
（ I）求椭圆C的方程；
（ I I）问是否存在直线l：y=

x+t，使直线l与椭圆C有公共点，且原点到直线l的距离为4？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，

∴c=2，左焦点F′（-2，0），

∴2a=|AF|+|AF′|=

(2+2)2+32

(2-2)2+32

=8，

解得c=2，a=4，

又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

=1．

（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y=

x+t，

由

x+t

，得3x²+3tx+t²-12=0，

∵直线l与椭圆有公共点，∴△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，

解得-4

≤t≤4

，

∵直线OA与l的距离4=

|t|

，从而t=±2

，

由于±2

∉[-4

，4

]，

所以符合题意的直线l不存在．