问题
解答题
已知椭圆C：
（1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为
（2）若直线m上存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围； （3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的取值范围． |
答案
（1）对x2+y2-6y-4=0，令y=0，则x=±2．
所以，A（-2，0），a=2（2分）
又因为，e=
=c a
，3 2
所以，c=
，（3分）3
b2=a2-c2=1（4分）
所以，椭圆C的方程为：
+y2=1．（5分）x2 4
（2）由图知△AFQ为等腰三角形a+c=AF=QF＞
-c（7分）a2 c
所以，2c2+ac-a2＞0，2e2+e-1＞0，（2e-1）（e+1）＞0
又0＜e＜1，
所以
＜e＜1，即椭圆离心率取值范围为(1 2
，1)．（10分）1 2
（3）连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM⊥PM，MN⊥PD．
所以，MN=2MH=
=2MD•MP PD 2MD PD2-MD2 PD
=2MD•1- MD2 PD2
⊙D：x2+（y-3）2=13，MD=13
所以，MN=2
•13
（13分）1- 13 PD2
设P（x0，y0），则
+y02=1且-1≤y0＜0x02 4
所以，PD2=x02+（y0-3）2=-3y02-6y02+13=-3（y0+1）2+16（-1≤y0＜0）
所以，13＜PD2≤16（15分）
所以，O＜MN≤
．（16分）39 2