问题
解答题
已知椭圆C：
（I）求椭圆C的方程； （II）F1，F2是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若
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答案
（I）有题义长轴长为4，即2a=4，解得：a=2，
∵点(1，
)在椭圆上，∴3 2
+1 4
=1 解得：b2=39 4b2
椭圆的方程为：
+x2 4
=1；y2 3
（II）由直线l与圆O相切，得：
=1，即：m2=1+k2|m| 1+k2
设A（x1，y1）B（x2，y2） 由
消去y，
+x2 4
=1y2 3 y=kx+m
整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=8km 3+4k2
，4m2-12 3+4k2
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2
+km(-4m2-12 3+4k2
)+m2=8km 3+4k2
∴x1x2+y1y2=3m2-12k2 3+4k2
+4m2-12 3+4k2
=3m2+2k2 3+4k2 7m2-12k2-12 3+4k2
∵m2=1+k2∴x1x2+y1y2=
=--5-5k2 3+4k2
，3 2
解得：k2=
，1 2
∴k的值为：±
．2 2