问题
解答题
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3
(1)求椭圆C的方程; (2)已知圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程. |
答案
(1)依题意,可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1,…(1分)
从而
,解得18m+16n=1 10m+20n=1
…(3分)n= 1 25 m= 1 50
故椭圆C的方程为
+x2 50
=1…(4分)y2 25
(2)椭圆C:
+x2 50
=1的两焦点为F1(-5,0),F2(5,0),…(5分)y2 25
∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点,
∴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.…(6分)
设双曲线G的方程为
-x2 a2
=1(a>0,b>0),则G的渐近线方程为y=±y2 b2
x,…(7分)b a
即bx±ay=0,且a2+b2=25,
圆M:x2+(y-5)2=9的圆心为(0,5),半径为r=3.
∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切
∴
=3|5a| a2+b2
∴a=3,b=4.…(9分)
∴双曲线G的方程为
-x2 9
=1.…(10分)y2 16