问题 解答题
已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(3
2
,4)
,点B(
10
,2
5
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆C有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.
答案

(1)依题意,可设椭圆C的方程为mx2+ny2=1,…(1分)

从而

18m+16n=1
10m+20n=1
,解得
n=
1
25
m=
1
50
…(3分)

故椭圆C的方程为

x2
50
+
y2
25
=1…(4分)

(2)椭圆C:

x2
50
+
y2
25
=1的两焦点为F1(-5,0),F2(5,0),…(5分)

∵双曲线G与椭圆C有相同的焦点,

∴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.…(6分)

设双曲线G的方程为

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0),则G的渐近线方程为y=±
b
a
x,…(7分)

即bx±ay=0,且a2+b2=25,

圆M:x2+(y-5)2=9的圆心为(0,5),半径为r=3.

∵双曲线G的两条渐近线恰好与圆M相切

|5a|
a2+b2
=3

∴a=3,b=4.…(9分)

∴双曲线G的方程为

x2
9
-
y2
16
=1.…(10分)

单项选择题
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