（1）椭圆C的焦点在x轴上，

由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，

又点A（1，

3

2

） 在椭圆上，因此

1

22

+

3 4

b2

=1，得b²=1，于是c²=3，

所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，…（4分）

（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为y-

1

4

=k(x-1)，设D（x₁′，y₁′），E（x₂′，y₂′），则

由

x2 4 +y2=1 y- 1 4 =k(x-1)

，消去y可得(1+4k2)x2+(2k-8k2)x+4k2-2k-

15

4

=0

∴

x1′+x2′

2

=

4k2-k

1+4k2

=1，∴k=-1

∴DE方程为y-1=-1（x-

1

4

），即4x+4y=5；…（9分）

（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x-1，代入椭圆C的方程得（m²+4）y²+2my-3=0，

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

2m

m2+4

，y₁y₂=-

3

m2+4

，且△＞0成立．

又S_△OMN=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

×

4m2+12(m2+4)

m2+4

=

2 m2+3

m2+4

，

设t=

m2+3

≥

3

，则S_△OMN=

2

t+ 1 t

，

（t+

1

t

）′=1-t^-2＞0对t≥

3

恒成立，∴t=

3

时，t+

1

t

取得最小，S_△OMN最大，此时m=0，

∴MN方程为x=1；…（14分）