问题 解答题

某工厂用72万元钱购买了一台新机器,每年的保险费、油费合计为7.5万元,另外,维修保养费用逐年递增,第一年为2万元,以后每年增加1万元.

(I)设前n年的维修保养总费用为Sn万元,求Sn的表达式;

(Ⅱ)截止到第n年,这台机器的总费用是多少?

(Ⅲ)这台机器的最佳使用年限(年平均费用最小)是多少?

答案

(I)由题意,每年的保养费是一个首项为2,公差为1的等差数列,可得Sn=2+3+…+(n+1)=

n(n+3)
2
;(2分)

(II)总费用为72+7.5n+

n2+3n
2
=
n2+18n+144
2
(万元)

答:截止到第n年,这台机器的总费用是

n2+18n+144
2
万元;(4分)

(III)设这台机器前n年的年平均费用为f(n)万元,f(n)=

n2+18n+144
2n
=(
n
2
+
72
n
)+9≥21,当且仅当
n
2
=
72
n
时等号成立.

即n=12时等号成立.

答:这台机器的最佳使用年限是12年.(8分)

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