已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0

问题解答题

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

答案

（I）设椭圆C的方程为

=1（a＞b＞0），

根据题意b=4，

，∵a²=b²+c²

∴a=5，c=3

∴椭圆的方程是

（II）|OP|=2

，直线OP的方程是y=x，

设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，

∵S_△OPQ=4，∴d=

|m|

⇒m=±4

∴Q点在直线 y=x±4上，

当m=4时，

y=x+4

＜1

⇒41x²+200x＜0⇒-

200

＜x＜0，

∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分别对应有四个整数点；

当m=-4时，由对称性，同理满足条件的点Q也有四个，

综上，存在满足条件的整数点有8个．