已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞o)的左焦点为F（-2，0），离心率e=

问题解答题

已知椭圆

=1(a＞b＞o)的左焦点为F（-

，0），离心率e=

，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：

，直线OM与ON的斜率之积为-

，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

答案

（Ⅰ）由题设可知：

，∴a=2，c=

…2分

∴b²=a²-c²=2…3分

∴椭圆的标准方程为：

=1…4分

（Ⅱ）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

可得：

xP=x1+2x2

yP=y1+2y2

①…5分

由直线OM与ON的斜率之积为-

可得：

y1y2

x1x2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0②…6分

由①②可得：x_P²+2y_P²=（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）

∵M、N是椭圆上的点，∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4

∴x_P²+2y_P²=8，即

=1…..8分

由椭圆定义可知存在两个定点F₁（-2，0），F₂（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4

；….9分；

（Ⅲ）证明：设M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＞0，y₁＞0，x₂＞0，y₂＞0，x₁≠x₂，A（x₁，0），N（-x₁，-y₁）…..10分

由题设可知l_AB斜率存在且满足k_NA=k_NB，∴

2x1

y2+y1

x2+x1

…．③

k_MN•k_MB+1=

•

y2-y1

x2-x1

+1④…12分

将③代入④可得：k_MN•k_MB+1=

2(y2+y1)

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

+1=

(

)-(

)

⑤….13分

∵点M，B在椭圆

=1上，∴k_MN•k_MB+1=

(

)-(

)

∴k_MN•k_MB+1=0

∴k_MN•k_MB=-1

∴MN⊥MB…14分．